Линейная алгебра Примеры

$8 a + b + 4 d = - 1$ , $2 a + 2 b + 2 d = 0$ , $- 2 a + 5 b + 2 d = 1$

Этап 1

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 8 & 1 & 4 & - 1 \\ 2 & 2 & 2 & 0 \\ - 2 & 5 & 2 & 1 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{8} & \frac{1}{8} & \frac{4}{8} & \frac{- 1}{8} \\ 2 & 2 & 2 & 0 \\ - 2 & 5 & 2 & 1 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{8} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{8} \\ 2 & 2 & 2 & 0 \\ - 2 & 5 & 2 & 1 \end{array}]$

Этап 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{8} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{8} \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 (\frac{1}{8}) & 2 - 2 (\frac{1}{2}) & 0 - 2 (- \frac{1}{8}) \\ - 2 & 5 & 2 & 1 \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{8} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{8} \\ 0 & \frac{7}{4} & 1 & \frac{1}{4} \\ - 2 & 5 & 2 & 1 \end{array}]$

Этап 2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{8} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{8} \\ 0 & \frac{7}{4} & 1 & \frac{1}{4} \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 5 + 2 (\frac{1}{8}) & 2 + 2 (\frac{1}{2}) & 1 + 2 (- \frac{1}{8}) \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{8} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{8} \\ 0 & \frac{7}{4} & 1 & \frac{1}{4} \\ 0 & \frac{21}{4} & 3 & \frac{3}{4} \end{array}]$

Этап 2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{4}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{4}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{8} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{8} \\ \frac{4}{7} \cdot 0 & \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{4} & \frac{4}{7} \cdot 1 & \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{4} \\ 0 & \frac{21}{4} & 3 & \frac{3}{4} \end{array}]$

Этап 2.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{8} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{8} \\ 0 & 1 & \frac{4}{7} & \frac{1}{7} \\ 0 & \frac{21}{4} & 3 & \frac{3}{4} \end{array}]$

Этап 2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{21}{4} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{21}{4} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{8} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{8} \\ 0 & 1 & \frac{4}{7} & \frac{1}{7} \\ 0 - \frac{21}{4} \cdot 0 & \frac{21}{4} - \frac{21}{4} \cdot 1 & 3 - \frac{21}{4} \cdot \frac{4}{7} & \frac{3}{4} - \frac{21}{4} \cdot \frac{1}{7} \end{array}]$

Этап 2.5.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{8} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{8} \\ 0 & 1 & \frac{4}{7} & \frac{1}{7} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{8} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{8} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{8} \cdot 0 & \frac{1}{8} - \frac{1}{8} \cdot 1 & \frac{1}{2} - \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{7} & - \frac{1}{8} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{7} \\ 0 & 1 & \frac{4}{7} & \frac{1}{7} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.6.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} \\ 0 & 1 & \frac{4}{7} & \frac{1}{7} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$a + \frac{3 d}{7} = - \frac{1}{7}$

$b + \frac{4 d}{7} = \frac{1}{7}$

Этап 4

Вычтем $\frac{3 d}{7}$ из обеих частей уравнения.

$a = - \frac{1}{7} - \frac{3 d}{7}$

$b + \frac{4 d}{7} = \frac{1}{7}$

Этап 5

Вычтем $\frac{4 d}{7}$ из обеих частей уравнения.

$b = \frac{1}{7} - \frac{4 d}{7}$

$a = - \frac{1}{7} - \frac{3 d}{7}$

Этап 6

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(- \frac{1}{7} - \frac{3 d}{7}, \frac{1}{7} - \frac{4 d}{7}, d)$

Этап 7

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{1}{7} - \frac{3 d}{7} \\ \frac{1}{7} - \frac{4 d}{7} \\ d \end{array}]$